정전계
쿨롱의 법칙
두 점전하 사이에 작용하는 힘은 각 전하량에 비례하고 상호 거리에 반비례한다.
$$ F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} [N] $$
$$ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 $$
전계와 전계의 세기
임의의 공간에서 점전하가 힘을 받게 된다면 그 공간은 전기력이 작용하는 공간으로 전계라 한다.
전계의 세기는 단위 점전하가 받는 힘 이다. 보다 엄밀하게 정의하면 미량의 점전하에 받는 힘을 그 전하량으로 나눈 값이다.
$$ E = \lim_{\Delta q \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta q} [V/m]$$
점전하 전계
공간상 점전하 $Q$ 로 인해 형성된 전계 $E$는
$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2 }$$
전기력선
- 전계의 작용방향과 크기를 표현한 가상의 수
- 전기력선의 밀도를 그점의 전계의 세기와 같도록 함.
$$ E = \frac{dN}{dS} $$
$$ dN = E \ dS $$
- 폐곡면 전체를 관통하는 전기력선 수
$$ N = \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} $$
점전하 전계에서 전기력선 고찰
점전하 $Q$로 부터 $N$개의 전기력선이 사방으로 고르게 퍼져감.
전기력선의 밀도가 전계의 세기이므로 점전하로 부터 멀어질 수록 전계의 세기는 줄어든다.
전기력선 수는 전하량 $Q$에 비례하고 매질(진공)의 유전률 $\epsilon_0$에 반비례한다.
$$ \begin{matrix}
N &=& \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} \
&=& E \times S \
&=& \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \times 4 \pi r^2 \
&=& Q/\epsilon_0
\end{matrix}$$전기력선 수는 같은 전하량일 지라도 매질의 따라 다르다.
전위 (전위차)
- 전기적 위치에너지
- 전계를 전기력선 방향으로 선적분 한 값
- 단위 전하를 전기력선 방향으로 옮기는데 전계가 한 일
점 전하 전계와 전위
무한 공간에 전하량 $Q$에 의한 전계와 전위. 전하 $Q$에 가까울수록 전위가 높다.
절대전위
- 그냥 전위라 하면 절대전위를 뜻함
- 기준 전하로 부터 직선 거리 $p$점에서 무한 거리 까지 전위차
$$ V_p = V_{p\infty} = \int _p ^ \infty \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = -\int _\infty ^p \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} $$
전위차
- 기준전하로 부터 가까운점 $a$ 부터 먼 점 $b$ 까지의 전위차
$$ V_{ab} = \int _a ^b \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = -\int _b ^a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} $$
- 기준전하로 부터 가까운점 $a$ 부터 먼 점 $b$ 까지의 전위차
보존장
- 동일한 위치에서 전위차는 0이다.
$$ Vaa = \int _a ^a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$
- 임의의 폐경로를 따라 단위 전하에 전계가 한 일 - 결국, 전위차 - 은 0이다.
- 키르히호프의 제2법칙과 개념상 동일.
전위경도
- 경사가 급할수록 물의 흐름이 강하다.
- 전위경도(단위거리당 전위차)가 클 수록 전계의 세기가 강하다.
- 전위경도는 위치에 따른 절대전위의 기울기를 말한다.
- 전위가 기울어진 쪽으로 전기력선이 흐르고 전기력선의 방향은 전계의 방향이고 그 반대방향(상행)이 전위경도의 방향이다.
- 전위경도가 곧 전계의 세기이고 단 방향만 서로 반대이다.
$$ \begin{matrix}
\vec{E} &=& - grad V \
&=& - \nabla V \
&=& -( \frac{\partial }{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial }{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial }{\partial z}\vec{k} ) V \
&=& E_x \vec{i} + E_y \vec{j} + E_z \vec{k}
\end{matrix}$$
가우스법칙
- 임의의 폐곡면을 빠져나가는 전기력선 수는 그 폐곡면을 따라 전계를 면적분한 것과 같다. (전기력선의 정의에 의해)
- 동일한 상황에서 그 값은 폐곡면 내부의 전하량/$\epsilon_0$과 같다.
즉,
$$ 폐곡면을\ 통해 나가는\ 전기력선의\ 총수 = {1 \over \epsilon_0} (페곡면\ 내의\ 전하량) $$
$$ N = \int_S \vec{E} \cdot d \vec S = {Q \over \epsilon_0} $$
- 가우스법칙을 응용하여 여러 물리계의 전계와 전위를 구할 수 있다.
구 도체 외부 전계와 전위
$$
\begin{matrix}
N &=& \displaystyle \int_S \vec{E} \cdot d \vec S \
&=& \displaystyle E \cdot 4 \pi r^2 \
&=& \displaystyle {Q \over \epsilon_0}
\end{matrix}
$$
이므로, 전계
$$ E = {Q \over 4 \pi \epsilon_0 r^2}$$
전위는
$$V = \int _r ^\infty E dr = {Q \over 4 \pi \epsilon_0 r} $$
구 도체 내부 전계와 전위
- 구 도체 내부에서는 전하가 모두 표면에 고루 분포되어 있어
- 전계 $E = 0$
- 전위 $V$ = 표면에서의 전위 (도체내부에서 전위차는 존재하지 않는다.)
- 만일, 구 도체 내부에서 전하가 전 체적에 고루 분포되어 있다면 전계는 중심으로 갈수록 선형적으로 줄어들고 중심에서 0이다.
- 전위는 중심으로 갈 수록 시그모이드하게 증가하고 중심에서 최대가 된다.
원통도체 외부에서 전계와 전위
- 전계
$$ E = {\sigma _l \over 2 \pi \epsilon_0 r} $$ - 전위는 무한대. 도체가 무한히 길기 때문.
- 두 점사이 전위차
$$ V = -{\sigma_l \over 2 \pi \epsilon_0} \ln{r_1 \over r_2} \ \ (r_2 > r_1)$$
얇은 평판도체 외부
- 전계는 평면의 양 방향으로 평면과 수직이며 전기력선는 평행하다.
- 전계는 평판과 거리에 무관 ($\pi$ 와 $r$ 요소가 없다.)
$$ E = {\sigma_s \over 2 \epsilon_0} $$
두꺼운 평판도체 단면 외부
- 전하는 단면에 고루 분포
$$ E = {\sigma_s \over \epsilon_0} $$
두 장의 평판도체 사이
- 전기력선이 판에서 다른판으로 평행하므로
- 전계
$$ E = {\sigma_s \over \epsilon_0} $$ - 두 도체사이의 간격이 $d$ 일때 전위차
$$ V = E\ d$$
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